Алексей взял в банке кредит на срок 12 месяцев
Задача 30 — кредит на 12 месяцев
2 сентября 2016
Условие
Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит равными ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется $r$% этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите $r$.
Решение
Пусть сумма кредита равна $S$. По условию долг Алексея должен уменьшаться до нуля равномерно, то есть 12 раз на $\frac{S}{12}$ :
\[\left( \ S-\frac{S}{12} \right),...,\ \left( \frac{3S}{12}-\frac{S}{12} \right),\ \left( \frac{2S}{12}-\frac{S}{12} \right),\ \left( \frac{S}{12}-\frac{S}{12} \right).\]
К концу каждого месяца к сумме долга добавляется $r$%. Пусть коэффициент повышения равен $k=1+\frac{r}{100}$. Тогда последовательность сумм долга вместе с процентами такова:
\[kS,\ \frac{11kS}{12},...,\ \frac{2kS}{12},\ \frac{kS}{12}.\]
Поскольку от суммы $kS$ после выплаты осталось $S-\frac{S}{12}$, то для нахождения величины первой выплаты необходимо найти разность этих величин: $kS-\left( S-\frac{S}{12} \right);$
Так же находим вторую выплату $\frac{11kS}{12}-\left( \frac{11S}{12}-\frac{S}{12} \right);$и так далее.
Следовательно, выплаты должны быть следующими:
\[\left( k-1 \right)S+\frac{S}{12},\ \frac{11\left( k-1 \right)S+S}{12},...,\ \frac{2\left( k-1 \right)S+S}{12},\frac{\left( k-1 \right)S+S}{12}.\]
Всегоследуетвыплатить:
\[12\cdot \frac{S}{12}+S\left( k-1 \right)\left( 1+\frac{11}{12}+...+\frac{2}{12}+\frac{1}{12} \right)=S+S(k-1)\cdot \frac{13}{2}.\]
Общая сумма выплат оказалась на 13% больше суммы, взятой в кредит, поэтому:
\[\frac{S+S(k-1)\cdot \frac{13}{2}-S}{S}=0,13;\]
\[k-1=0,13\cdot \frac{2}{13};\]
$k=1+\frac{r}{100}=1,02$, откудаполучаем, что r = 2.
Правильный ответ
2
Смотрите также:
www.berdov.com
Задача 31 — кредит на 17 месяцев
2 сентября 2016
Условие
Алексей взял кредит в банке на срок 17 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется $r$% этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 27 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите $r$.
Решение
Пусть сумма кредита равна $S$. По условию долг Алексея должен уменьшаться до нуля равномерно, то есть 17 раз на $\frac{S}{17}$:
\[S-\frac{S}{17},\ \frac{16S}{17}-\frac{S}{17},...,\ \frac{2S}{17},\ \frac{S}{17},\ 0.\]
К концу каждого месяца к сумме долга добавляется $r$%. Пусть коэффициент увеличения суммы долга $k=1+\frac{r}{100}$. Тогда последовательность сумм долга вместе с процентами такова:
\[kS,\ \frac{16kS}{17},...,\ \frac{2kS}{17},\ \frac{kS}{17}.\]
Так как от суммы $kS$ после выплаты осталось $S-\frac{S}{17}$, то для нахождения величины первой выплаты необходимо найти разность этих величин: $kS-\left( S-\frac{S}{17} \right)=S(k-1)+\frac{S}{17}.$
Так же находим вторую выплату $\frac{16kS}{17}-\left( \frac{16S}{17}-\frac{S}{17} \right)=\frac{16S(k-1)+S}{17};$и так далее.
Следовательно, выплаты должны быть следующими:
\[\left( k-1 \right)S+\frac{S}{17},\ \frac{16\left( k-1 \right)S+S}{17},...,\ \frac{2\left( k-1 \right)S+S}{17},\frac{\left( k-1 \right)S+S}{17}.\]
Всего следует выплатить:
\[17\cdot \frac{S}{17}+S\left( k-1 \right)\left( 1+\frac{16}{17}+...+\frac{2}{17}+\frac{1}{17} \right)=\]
\[=S+S(k-1)\cdot \frac{1+\frac{1}{17}}{2}\cdot 17=S+S(k-1)\cdot 9.\]
Общая сумма выплат оказалась на 27% больше суммы, взятой в кредит, поэтому:
\[\frac{S+S(k-1)\cdot 9-S}{S}=0,27;\]
\[9(k-1)=0,27;\]
$k=1+\frac{r}{100}=1,03,$ откуда получаем, что r = 3.
Правильный ответ
3
Смотрите также:
www.berdov.com
Вопрос: ну пожалуйста :((((( Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r .
ну пожалуйста :((((( Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r .
Ответ:
Пусть S - сумма начального долга. Каждый месяц долг должен уменьшаться на одинаковую сумму, т.к. месяцев 12, то каждый месяц он уменьшается на S/12. Если в конце первого месяца заплатили [latex]x_1[/latex], то получим [latex]S(1+r/100)-x_1= \frac{11}{12}S[/latex], т.е. [latex]x_1=\frac{S(1+12r/100)}{12}[/latex]. Во второй месяц оплата была [latex]x_2[/latex] и уравнение будет [latex]\frac{11}{12}S(1+r/100)-x_2= \frac{10}{12}S[/latex], т.е. [latex]x_2=\frac{S(1+11r/100)}{12}[/latex] и т.д. В [latex]k[/latex]-ый месяц сумма выплат будет равна [latex]x_k=\frac{S(1+(13-k)r/100)}{12}[/latex]. Суммируя эту арифметическую прогрессию по k=1,2,...,12, получим, что общие выплаты по кредиту составили S(1+13r/200), что по условию равно 1,13S. Отсюда r=2%.
cwetochki.ru
m67.html
66+ Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13% больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.
РЕШЕНИЕ
Содержание критерия | Баллы |
Обоснованно получен правильный ответ | 3 |
Получено верное выражение для ежегодного платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу | 2 |
Получено выражение для ежегодной выплаты, но уравнение не составлено. ИЛИ Верный ответ найден подбором. | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
ОТВЕТ
www.mathler.narod.ru
